直流電機：?永磁直流電機各種電感介紹

??  永磁直流電機在控制中，經(jīng)常要用到各種坐標變換，同時(shí)也會(huì )碰到到種電感，如：相電感、線(xiàn)電感、直軸電感、交軸電感、相間互感等，特別是電感和坐標變換結合后，就有不少人容易混淆迷惑。下面我們用圖文及公式方式來(lái)理解直流電機電感其中的關(guān)系。

  電感：1824年，奧斯特發(fā)現了電流效應，在通電導體周?chē)拇裴槙?huì )發(fā)生偏轉，也就是電生磁，后來(lái)，法拉第和亨利發(fā)現了磁也能生電，在移動(dòng)的磁場(chǎng)能會(huì )在導體中感應出電流，這就是現在所說(shuō)的電磁感應，數學(xué)工程式為：

  e：感應電壓

  d_ф/d_t：磁通的變化率（單位Wb/s） 

  法拉第發(fā)表電磁感應論文不久，楞次發(fā)現了決定感應電流方向的規律，也就是楞次定律：感應電流的磁場(chǎng)總要阻礙引起感應電流的磁通量的變化，所以完整數學(xué)公式為：

  直流電機中控制中的自感與互感

  在安倍定律中：磁場(chǎng)產(chǎn)生的根本原因是電流（可以是導體中的電流，也可以是永磁體中的電流）。如下圖所示，一個(gè)線(xiàn)圈通電后，就會(huì )產(chǎn)生磁場(chǎng)

  線(xiàn)圈本身就處于自身產(chǎn)生的磁場(chǎng)中，也就意味著(zhù)線(xiàn)圈中也會(huì )產(chǎn)生磁通磁通，這個(gè)量對于我們來(lái)說(shuō)不直觀(guān)，也不好測量，既然磁通是由電流產(chǎn)生的那我們可以借助電流來(lái)表示，所以電感的定義是：

  單位是Henry（亨利），一位美國物理學(xué)家，他其實(shí)和法拉第幾乎同時(shí)獨立的發(fā)現了電磁感應現象，只不過(guò)法拉第更早的發(fā)表了成果，就贏(yíng)得了冠名權。

  我們通常說(shuō)的電感，嚴格來(lái)說(shuō)應該叫自感，即線(xiàn)圈自己對自己產(chǎn)生磁通的能力。

  既然有自感，就會(huì )有互感，即兩個(gè)線(xiàn)圈之間互相產(chǎn)生磁通的能力。

  在直流電機中，電感非常重要，它表達了在某個(gè)特定機構中電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)能力，電感確定了，我們就能很容易去研究磁場(chǎng)的性質(zhì)。

  什么是磁動(dòng)勢？

  電感的定義是由磁通來(lái)定義了，要計算線(xiàn)圈的電感，先就要計算線(xiàn)圈通電后產(chǎn)生的磁場(chǎng)，由此來(lái)計算磁鏈，如，直流電機內磁路為線(xiàn)性，鐵芯中的磁滯和渦流損耗可以忽略、氣隙磁場(chǎng)的搞次諧波也可忽略，直流電機的定、轉子表面光滑，齒、槽影響可以用卡式系數修正，直軸和交軸氣隙可以不等，但是氣隙的比磁導可以用平均值加二次諧波來(lái)表示

  上圖為直流電機定子槽內兩極整距線(xiàn)圈的情況， ⊙為流出，?為流入。根據安培環(huán)路定理，其磁動(dòng)勢分布圖為：

  磁動(dòng)勢的幅值為

  對方波進(jìn)行傅里葉級數分析，可知其可由1、3、5，...等奇次諧波組成，其中1次諧波也稱(chēng)之為基波，其幅值為：

  上面分析的是一對極情況，現在假設是p對極，每相繞組總匝數為Nph，則A相基波幅值為：

  上面分析時(shí)繞組都認為是整距，且每極每相只有一個(gè)槽，實(shí)際電機很少這種情況，大多每極下面是多槽的，而且還是短距：

  我們一般用一個(gè)繞組因數kω1來(lái)對基波磁動(dòng)勢進(jìn)行修正，其幅值為：

  直流電機的相電感與互感計算

  根據基波磁動(dòng)勢的幅值，則其沿定子分布為：

  有了磁勢，如果能知道磁導（磁阻的倒數），那就能計算氣隙磁密了。對于表貼式直流電機而言，氣隙基本不變，因此磁導和直流電機轉子的位置沒(méi)有關(guān)系；但是對于直流電機而言，氣隙沿轉子圓周方向一直變換（變化周期是極對數的兩倍），因此磁導還和轉子位置相關(guān)。

  由于d_q軸是定義在直流轉子上的，因此我們可以通過(guò)d軸與A相繞組的夾角θ來(lái)表示轉子所在的位置。

  計算相電感

  氣隙比磁導為：

  λ(a)=λ_δ0+λ_δ2cos2(a+θ)

  式中因為氣隙長(cháng)度變換周期是極對數的2倍，因此有個(gè)2次分量，而且當直流電機類(lèi)型為內嵌式時(shí)， λ_δ2為負值，即d軸時(shí)磁阻最大，磁導最小。

  氣隙磁動(dòng)勢和比磁導的相位關(guān)系為：

  則氣隙磁密為磁動(dòng)勢乘以比磁導：

  B_δ(a)=F_a1cosa·(λ_δ0+λ_δ2cos2(a+θ))

  展開(kāi)成諧波疊加的形式：

  所以基波氣隙磁密為：

  則A相繞組對應的磁鏈為：

  其中 L_σ為A相漏感，τ為極距，l 疊片長(cháng)度，上式整理可得：

  進(jìn)一步整理可得：

  所以A相自感為：

  即：

  換一種表達方式：

  可見(jiàn)，A相繞組的自感不是一個(gè)固定值，而是隨轉子的變換而變化。同理可得其他兩相自感為：

L_bb=L_s0+L_s2cos2(θ-2π/3)

L_cc=L_s0+L_s2cos2(θ+2π/3)

  計算相間互感

  由于B相繞組與A相繞組空間相差120°，其與自感方式基本相同，只需將積分區間由 [-π/2 π/2]修改為 [-π/2-2π/3 π/2-2π/3] ，即可以計算A相繞組電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)在B相繞組中感應出的磁鏈，具體為：

  其中M_σ為互漏感，可以獲得A、B相互感為：

同理可獲得其他兩相的互感為：

  直流電機的自感和互感如下圖所示：

  如何計算dq軸電感？

  一般的直流電機都會(huì )用d_q軸電感表示，那么問(wèn)題來(lái)了：d_q軸電感如何計算或測量？和相電感及互感有什么關(guān)系？d_q電感和坐標變換有什么關(guān)系？

  如何確定坐標轉換矩陣？

  算電感是為了算磁鏈，進(jìn)而去計算磁場(chǎng)的某型性質(zhì)，通過(guò)一系列公式，終于把三相繞組的自感和互感計算出來(lái)了。

  那磁鏈就可以計算：

  電感矩陣非常復雜：

  而且這個(gè)電感矩陣還隨之直流電機轉子的變化而變化著(zhù)，可以找到一個(gè)相似矩陣，這個(gè)相似矩陣呢形式比較簡(jiǎn)單，只有對角線(xiàn)上有數，而且這個(gè)相似矩陣能表征原矩陣的關(guān)鍵特征。矩陣對角化本質(zhì)就是尋找矩陣空間的正交基以及在“基”上的投影系數。那電感矩陣是不是可以進(jìn)行對角化呢？

  可以按照矩陣對角化的步驟：

  Del|L_s-λI|=0

  可以得到三個(gè)特征值，分別是：

  其中特征值λ₁對應的特征向量是：

  特征值λ₂對應的特征向量是：

  特征值 λ₃對應的特征向量是：

  則3個(gè)特征向量可以組成如下特征矩陣：

  這個(gè)特征矩陣就是克拉克變換和帕克變換的乘積，該特征矩陣的逆矩陣為：

  則電感矩陣的特征值可以用特征矩陣及其逆矩陣來(lái)計算，即

一般稱(chēng)λ₁為L_d； λ₂為L_q；λ₃為L₀，即：

  d_q軸的電感就是三相繞組電感矩陣的特征值，d_q電感是一個(gè)常量了，cos2θ等變化因子消失了，也就是說(shuō)通過(guò)對角化（坐標變換），原先較為復雜的電感矩陣對角化和常數化了，是定子的磁鏈方程解耦了！同時(shí)：d_q軸電感與變換矩陣無(wú)關(guān)，是電感矩陣的固有屬性。

  恒功率變換

  在坐標變換的時(shí)候，有的變換矩陣前面有個(gè)系數2/3 ，有的是  ，有的又沒(méi)有，這到底有什么關(guān)系呢？

  電壓矢量、電流矢量以及磁鏈矢量的關(guān)系為：

  電感對角畫(huà)的時(shí)候求取了變換矩陣C ，現在我們需要把電壓矢量、電流矢量以及磁鏈矢量也進(jìn)行坐標變換：

  U_s=Cu’_s

  i_s=Ci’_s

  Ψ_s=CΨ’_s

  則變換后的功率為：

  P=i_s^Tu_s=(Ci’_s)^T(Cu’_s)=(i’_s)^T(C^TC)u’_s

  把C 和C^T 代入上式，就可以得到：

  不考慮零軸分量，發(fā)現變換后的功率是變換前的3/2倍！也就是說(shuō)，變換前后功率不守恒了，那通過(guò)功率計算的轉矩就會(huì )不準確了，需要進(jìn)行修正。

  把特征矩陣變?yōu)橄旅孢@個(gè)就可以做到功率守恒呢

  這個(gè)矩陣也是最常用的變換矩陣。

   dq軸電感測量方法

  通過(guò)建立直流電機模型，就要知道dq軸電感，兩種方式，一種是計算，一種是測量。計算比較容易，建立直流電機的有限元模型，現在的電磁計算軟件都有電感矩陣計算功能，計算出來(lái)求特征值就行了，有的軟件都能直接給出dq軸的電感。

  一般來(lái)說(shuō)有2種方式來(lái)測電感，一種是通過(guò)三相繞組，一種是通過(guò)兩相繞組。

  用三相測dq軸電感

  將B、C兩相繞組并聯(lián)在一起，形成一個(gè)新的端點(diǎn)，用LCR表或其他裝置測量該端點(diǎn)和A相繞組端點(diǎn)之間的電感。

  此時(shí)因為：

  B相繞組和C相繞組并聯(lián)，具有相同的磁鏈，因此只計算B相繞組的磁鏈：

  則總的磁鏈為：

  Ψ=Ψ_a-Ψ_b

  則等效電感為：

  當θ=0時(shí)：

  當θ=±π/2時(shí)：

  可見(jiàn)，當直流電機轉子合適的位置測電感時(shí)，可以分別獲得d軸電感和q軸電感。但是這種方法有一個(gè)難點(diǎn)就是如何知道轉子此時(shí)的位置，一個(gè)近似的測法是緩慢的旋轉轉子，記下電感的最大值和最小值，此時(shí)：

  用兩相測dq軸電感

  用兩相繞組也可以直接測量，比如直接測量B、C兩相端部之間的電感。

  此時(shí)，B相繞組的磁鏈為：

  Ψ_b=(L_bb-L_bc)i

  B相繞組的磁鏈為：

  Ψ_c=(L_bc-L_cc)i

  總的磁鏈為：

  Ψ=Ψ_b-Ψ_c

  等效電感為： 

  同樣，緩慢的旋轉直流電機轉子，記下電感的最大值和最小值，此時(shí)：

  由于直流電機是比較復雜的電磁產(chǎn)品，里面電感構型比較復雜，既有自感又有互感，電感之間既有并聯(lián)，也有串聯(lián)，電感串聯(lián)和并聯(lián)的特性非常重要

  同向串聯(lián)電感

  上圖描述了兩個(gè)繞向相同的電感串聯(lián)時(shí)的模型，其中用黑點(diǎn)表示繞組電流流入方向，電流和磁鏈方向如圖所示。

  第一個(gè)電感產(chǎn)生的總磁鏈為：

  Ψ₁=L₁i₁+|M|i₂ 

  第二個(gè)電感中產(chǎn)生的總磁鏈為：

  Ψ₂=L₂i₂+|M|i₁

  兩個(gè)電感中的電流方向相同：

  i₁=i₂

  兩個(gè)電感等效成一個(gè)電感時(shí)，總的磁鏈為：

  Ψ=Ψ₁+Ψ₂=(L₁+L₂+2|M|)i

  則等效電感為：

  反向串聯(lián)電感

  此時(shí)兩繞組繞向相反，由于定義的電流正方向為繞組的流入方向，在此規定下，兩繞組的電流數值關(guān)系是：

  i₁=-i₂

  所以總的等效磁鏈為：

  Ψ=Ψ₁-Ψ₂=(L₁+L₂-2|M|)i

  則等效電感為：

  同向并聯(lián)電感

  兩個(gè)電感并聯(lián)時(shí)是比較反直覺(jué)的，下面我們就來(lái)仔細分析一下。上圖是繞向相同的兩個(gè)電感并聯(lián)時(shí)情況，此時(shí)，由基爾霍夫電壓定律每個(gè)電感兩端的電壓應該是一致的。即：

  對于第一個(gè)電感：

  對于第二個(gè)電感：

  由基爾霍夫電流定律：

  i=i₁+i₂

  整理可得：

  所以等效電感為：

  反向并聯(lián)電感

  兩電感方向繞向相反，則根據基爾霍夫電壓定律：

  由基爾霍夫電流定律：

  i=i₁-i₂

  可計算的等效電感為：

  簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)：

  當兩電感串聯(lián)時(shí)：L_s-L₁+L₂±2M ，繞向相同時(shí)為+，繞向相反時(shí)為-；

  ?當兩電感并聯(lián)時(shí)：，繞向相同時(shí)為+，繞向相反時(shí)為 -。